Biografi Leonhard Euler
Nama : Leonhard Euler
Lahir : 15 April 1707 di Basel, Switzerland
Lahir : 15 April 1707 di Basel, Switzerland
Meninggal : 18 September 1783 (umur 76)
di St. Petersburg, Rusia
Tempat
tinggal : Prusia, Rusia Swiss, Warga negara Swiss
Bidang
: fisikawan dan matematikawa
Institusi :Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia Akademi Ilmu Pengetahuan Prusia
Alma
mater : Universitas Basel
Pembimbing
doctoral : Johann Bernoulli
Murid
bimbingan : Joseph Louis Lagrange
Agama
: Calvinis
SEJARAH HIDUP LEONHARD EULER
Euler lahir pada
tanggal 15 April 1707, di Basel Paul Euler,
seorang pendeta dari Gereja Reformasi . Ibunya adalah Marguerite Brucker, putri seorang pendeta.
Dia memiliki dua adik perempuan bernama Anna Maria dan Maria Magdalena. Segera
setelah kelahiran Leonhard, yang Eulers pindah dari Basel ke kota Riehen ,
di mana Euler menghabiskan sebagian besar masa kecilnya. Paul Euler adalah
seorang teman dari keluarga Bernoulli - Johann Bernoulli , yang saat itu dianggap sebagai terkemuka Eropa matematika , akhirnya akan menjadi pengaruh paling penting pada
Leonhard muda. Pendidikan awal resmi Euler dimulai di Basel, di mana ia dikirim
untuk tinggal bersama nenek dari pihak ibu. Pada usia tiga belas ia terdaftar
di Universitas Basel , dan tahun 1723, menerima gelar Master of Philosophy
dengan disertasi yang membandingkan filsafat Descartes dan Newton .
Pada saat ini, ia menerima
pelajaran hari Sabtu sore dari Johann Bernoulli, yang dengan cepat menemukan
bakat luar biasa murid barunya untuk matematika. Euler adalah pada saat
ini belajar teologi , Yunani , dan Ibrani pada desakan ayahnya, untuk menjadi pendeta, tetapi
Bernoulli Euler Paulus yakin bahwa Leonhard ditakdirkan untuk menjadi seorang
matematikawan besar. Pada 1726, Euler menyelesaikan disertasi pada propagasi suara dengan judul De Sono. Pada saat itu, ia
mengejar upaya (akhirnya berhasil) untuk mendapatkan posisi di University of
Basel. Pada 1727, ia masuk Akademi Paris Hadiah kompetisi Soal, mana
masalah tahun itu adalah untuk menemukan cara terbaik untuk menempatkan tiang-tiang di kapal. Ia memenangkan tempat kedua, kalah hanya
untuk Pierre Bouguer -pria sekarang dikenal sebagai "bapak arsitektur
angkatan laut". Euler kemudian memenangkan hadiah tahunan didambakan dua
belas kali dalam karirnya.
· Perjalanan hidup Euler ke St Petersburg
Pada tanggal 10 Juli
1726, Nicolas meninggal karena radang usus buntu setelah menghabiskan satu tahun di Rusia, dan ketika
Daniel diasumsikan posisi kakaknya dalam matematika / fisika divisi, dia
merekomendasikan bahwa pasca dalam fisiologi bahwa ia telah dikosongkan diisi
oleh temannya Euler. Pada November 1726 Euler bersemangat menerima tawaran itu,
tapi tertunda melakukan perjalanan ke St Petersburg sementara ia tidak berhasil
diterapkan untuk jabatan profesor fisika di Universitas Basel.
Euler tiba di ibukota
Rusia pada tanggal 17 Mei 1727. Dia dipromosikan dari posting junior di
departemen medis dari akademi ke posisi di departemen matematika. Dia diajukan
dengan Daniel Bernoulli dengan siapa ia sering bekerja dalam kerjasama erat.
Euler menguasai Rusiadan menetap ke dalam kehidupan di St Petersburg. Dia juga
mengambil pekerjaan tambahan sebagai tenaga medis di Angkatan Laut Rusia .
Akademi di St
Petersburg, yang didirikan oleh Peter Agung , dimaksudkan untuk meningkatkan pendidikan di Rusia dan
untuk menutup kesenjangan ilmiah dengan Eropa Barat. Akibatnya, itu dibuat
sangat menarik bagi para sarjana asing seperti Euler. Akademi memiliki sumber
daya keuangan yang cukup luas dan sebuah perpustakaan yang lengkap yang diambil
dari perpustakaan pribadi Petrus sendiri dan kaum bangsawan. Sangat sedikit
siswa yang terdaftar dalam akademi untuk mengurangi beban pengajaran fakultas,
dan akademi menekankan penelitian dan ditawarkan kepada fakultas, baik waktu
dan kebebasan untuk mengejar pertanyaan ilmiah.
· Perjalanan Euler ke Berlin
Prihatin dengan
gejolak terus di Rusia, Euler meninggalkan St Petersburg pada 19 Juni 1741
untuk mengambil posting di Berlin Academy , yang telah ditawarkan oleh Frederick Agung dari
Prusia . Dia tinggal selama dua puluh lima
tahun di Berlin ,
di mana ia menulis lebih dari 380 artikel. Di Berlin, ia menerbitkan dua karya
yang akan paling terkenal untuk: Introductio di
analysin infinitorum , teks pada
fungsi diterbitkan pada 1748, dan Institutiones kalkuli
differentialis, [13] pada tahun 1755
diterbitkan pada diferensial kalkulus . [14] Dalam 1755, ia
terpilih sebagai anggota asing dari Royal Swedish Academy
of Sciences .
Selain itu, Euler
diminta untuk tutor Putri Anhalt-Dessau, keponakan Frederick. Euler menulis
lebih dari 200 surat padanya di 1760s awal, yang kemudian dikompilasi ke dalam
volume terlaris berjudul Surat dari Euler pada Subjek yang berbeda di
Alam Filsafat Ditujukan kepada seorang Putri Jerman. Karya ini berisi
eksposisi Euler tentang berbagai subjek yang berkaitan dengan fisika dan
matematika, serta menawarkan wawasan berharga kepribadian Euler dan keyakinan
agama. Buku ini menjadi lebih banyak membaca daripada karya matematika, dan
diterbitkan di seluruh Eropa dan di Amerika Serikat.
Meskipun kontribusi
besar Euler untuk prestise Academy, ia akhirnya dipaksa untuk meninggalkan
Berlin. Euler, seorang yang religius yang sederhana dan pekerja keras, sangat
konvensional dalam keyakinannya dan selera. Dia dalam banyak hal kebalikan
langsung dari Voltaire. Euler memiliki pelatihan yang terbatas dalam retorika ,
dan cenderung untuk memperdebatkan hal-hal yang ia tahu sedikit tentang,
membuatnya target sering kecerdasan Voltaire.
· Saat Euler mengalami kerusakan penglihatan
Euler penglihatan memburuk
sepanjang karir matematika. Tiga tahun setelah menderita hampir fatal demam pada 1735 ia
menjadi hampir buta mata kanannya, tapi Euler bukan menyalahkan kondisinya pada
karya telaten pada kartografi ia
dilakukan untuk St Petersburg Academy. Melihat Euler di mata yang memburuk
selama tinggal di Jerman, begitu banyak sehingga Frederick menyebutnya sebagai
" Cyclops ".
Euler kemudian mengalami katarak di
mata kirinya yang baik, membuat dia hampir buta total beberapa minggu setelah
penemuannya pada tahun 1766.
Meski begitu,
kondisinya tampaknya memiliki sedikit efek pada produktivitas, karena ia
kompensasi untuk itu dengan keterampilan mental perhitungan dan memori fotografi . Sebagai contoh, Euler bisa mengulang Aeneid dari Virgil dari
awal sampai akhir tanpa ragu-ragu, dan untuk setiap halaman di edisi yang dia
bisa menunjukkan yang garis adalah yang pertama dan yang terakhir. Dengan
bantuan ahli tulisnya, produktivitas Euler pada banyak bidang studi benar-benar
meningkat. Dia menghasilkan rata-rata satu kertas matematis setiap minggu pada
tahun 1775.
· Euler kembali ke Rusia
Situasi di Rusia telah
meningkat pesat sejak aksesi ke tahta Catherine yang Agung , dan pada 1766 Euler menerima undangan untuk kembali ke
St Petersburg Academy dan menghabiskan sisa hidupnya di Rusia. Tinggal kedua di
negara itu dirusak oleh tragedi. Sebuah kebakaran di St Petersburg pada tahun
1771 biaya dia rumahnya, dan hampir hidupnya. Pada 1773, ia kehilangan istrinya
Katharina setelah 40 tahun menikah. Tiga tahun setelah istrinya meninggal Euler
menikah saudara tirinya, Salome Abigail Gsell (1723-1794). Pernikahan ini
berlangsung ler
Di St Petersburg pada
tanggal 18 September 1783, setelah makan siang bersama keluarganya, selama
percakapan dengan sesama akademisi Anders Johan Lexell tentang baru ditemukan Uranus dan
perusahaan orbit , Euler
mengalami pendarahan otak dan meninggal beberapa jam kemudian. [18] Sebuah obituari
singkat untuk Akademi Ilmu Pengetahuan
Rusiaditulis oleh Jacob von Shtelin dan pidato yang lebih rinci ditulis dan disampaikan
pada pertemuan peringatan oleh matematikawan Rusia
Ia dimakamkan di sebelah Katharina di Smolensk Lutheran
Cemetery di Pulau Vasilievsky . Pada 1785 itu, Akademi Ilmu
Pengetahuan Rusia menempatkan
patung marmer dari Leonhard Euler pada alas di sebelah kursi Direktur dan, pada
tahun 1837, ditempatkan sebuah nisan di kuburan Euler. Untuk memperingati ulang
tahun ke-250 kelahiran Euler, nisan tersebut dipindahkan pada tahun 1956,
bersama dengan jenazahnya, ke pekuburan abad ke-18 di Biara Alexander Nevsky .
Kontribusi untuk matematika dan fisika
Euler bekerja di
hampir semua bidang matematika: geometri , kalkulus , trigonometri ,aljabar ,
dan nomor teori , serta kontinum fisika , lunar teori dan area lain dari fisika .
Ia adalah tokoh berpengaruh dalam sejarah matematika, jika dicetak
karya-karyanya banyak yang merupakan kepentingan mendasar akan menempati antara
60 dan 80 kuarto volume.
1. Notasi Matematika
Euler diperkenalkan
dan dipopulerkan melalui konvensi penulisan beberapa buku teks-nya banyak dan
beredar luas. Terutama, dia memperkenalkan konsep fungsi dan adalah yang pertama untuk menulis f (x) untuk
menunjukkan fungsi f diterapkan pada argumen x. Dia
juga memperkenalkan notasi modern untuk fungsi trigonometri , huruf e untuk dasar logaritma natural(sekarang juga dikenal sebagai nomor Euler ), huruf Yunani Σ untuk
penjumlahan dan huruf iuntuk menunjukkan satuan imajiner . Para penggunaan huruf Yunani π untuk
menunjukkan rasio lingkar lingkaran untuk diameternya juga dipopulerkan oleh Euler, meskipun tidak berasal
dengan dia.
2. Analisis
Pengembangan kalkulus berada di garis depan penelitian matematika abad 18, danBernoullis -teman keluarga dari Euler - bertanggung jawab untuk
banyak kemajuan awal di lapangan. Berkat pengaruh mereka, belajar kalkulus
menjadi fokus utama dari pekerjaan Euler. Sementara beberapa bukti Euler tidak
dapat diterima oleh standar modern kekakuan matematika(dalam ketergantungan tertentu pada prinsip umum dari aljabar ), ide-idenya menyebabkan kemajuan besar banyak. Euler
dikenal di analisis untuk digunakan sering dan pengembangan deret pangkat , ekspresi fungsi sebagai putus asa dari segi tak
terhingga, seperti
Terutama, Euler
langsung membuktikan ekspansi deret pangkat untuk e dan tangen invers fungsi. (Bukti tidak langsung melalui teknik deret pangkat
invers diberikan oleh Newton danLeibniz .
antara 1670 dan 1680) penggunaan berani Nya dari seri daya memungkinkan dia
untuk memecahkan terkenal masalah Basel pada 1735 (dia memberikan argumen yang lebih rumit pada
1741):
Sebuah interpretasi geometris dari rumus Euler
Euler memperkenalkan
penggunaan fungsi eksponensial dan logaritma dalam
bukti analitik. Ia menemukan cara untuk mengekspresikan fungsi logaritmik
berbagai menggunakan daya seri, dan ia berhasil didefinisikan untuk logaritma
negatif dan bilangan kompleks , sehingga sangat memperluas ruang lingkup aplikasi
matematika logaritma. Untuk setiap bilangan real φ ,rumus Euler menyatakan bahwa eksponensial kompleks fungsi memenuhi 
Sebuah kasus khusus dari rumus di atas dikenal
sebagai identitas Euler.
Ada yang bilang persamaan tersebut mengandung
makna filosofi dan spritual. Bisa kalian bayangkan perpaduan antara bilangan
real dan imajiner menghasilkan kosong . Jadi kekosongan, kehampaan dihasilkan
dari perpaduan antara kenyataan dan imajinasi. Untuk yang menyukai filsafat
persamaan tersebut bakal sangat menarik.
Euler juga memelopori
penggunaan metode analitik untuk memecahkan masalah nomor teori. Dalam
melakukannya, ia bersatu dua cabang yang berbeda dari matematika dan
memperkenalkan bidang studi baru, analisis nomor teori . Dalam melanggar tanah untuk bidang baru, Euler
menciptakan teori hypergeometric seri , q-seri , fungsi trigonometri
hiperbolik dan analisis teori terus pecahan . Misalnya, ia membuktikan tak terbatas bilangan
primamenggunakan perbedaan dari deret harmonik , dan ia menggunakan metode analitik untuk mendapatkan
beberapa pemahaman tentang cara bilangan prima didistribusikan. Pekerjaan Euler di daerah ini menyebabkan
perkembangan dari teorema bilangan prima .
3. Teori Nomor
Bunga Euler di nomor
teori dapat ditelusuri ke pengaruh Kristen Goldbach, temannya di St Petersburg Academy. Banyak pekerjaan awal Euler
nomor teori didasarkan pada karya-karya Pierre de Fermat .
Euler membuktikan identitas Newton , Teorema kecil Fermat , Teorema Fermat pada
jumlah dua kotak , dan ia membuat
kontribusi yang berbeda untuk empat persegi Teorema
Lagrange . Dia juga menemukan totient fungsi φ (n) yang merupakan jumlah dari bilangan
bulat positif kurang dari atau sama dengan n bilangan bulat
yang coprime untuk n. Menggunakan
sifat-sifat fungsi ini, ia Teorema kecil Fermat umum dengan apa yang sekarang
dikenal sebagaiTeorema Euler . Dia memberikan kontribusi signifikan pada teori angka sempurna , yang terpesona matematika sejak Euclid .
Euler juga menduga hukum timbal balik kuadrat . Konsep ini dianggap sebagai teorema dasar teori
bilangan, dan ide-idenya membuka jalan bagi karya Carl Friedrich Gauss . Dengan 1772 Euler telah membuktikan bahwa 31-01
Februari = 2147483647adalah prima Mersenne. Mungkin tetap prima terbesar yang
diketahui sampai tahun 1867.
4. Teori Graph
Pada tahun 1736, Euler
memecahkan masalah yang dikenal sebagai Tujuh Jembatan
Königsberg. Kota Königsberg , Prusia didirikan pada Pregel Sungai,
dan termasuk dua pulau besar yang dihubungkan satu sama lain dan daratan oleh
tujuh jembatan. Masalahnya adalah untuk memutuskan apakah mungkin untuk
mengikuti jalan yang melintasi setiap jembatan tepat satu kali dan kembali ke
titik awal. Hal ini tidak mungkin: tidak ada sirkuit Euler . Solusi ini dianggap sebagai teorema pertama dari teori graph , khususnya dari planar graph teori.
Euler juga menemukan rumus V - E + F = 2 terkait jumlah
simpul, tepi, dan wajah dari cembung polyhedron dan
karenanya dari grafik planar . Konstanta dalam formula ini sekarang dikenal
sebagai karakteristik Euler untuk grafik (atau objek matematika lainnya), dan terkait
dengan genus objek. Penelitian dan generalisasi dari rumus ini, secara
khusus oleh Cauchy danL'Huillier , berada di asal topologi .
5. Terapan Matematika
Beberapa keberhasilan
Euler terbesar adalah dalam memecahkan masalah di dunia nyata analitis, dan
dalam menggambarkan berbagai aplikasi dari nomor Bernoulli , deret Fourier ,diagram Venn , nomor Euler , konstanta e dan π , terus pecahan dan integral. Dia terpadu Leibniz's diferensial kalkulus dengan Newton Metode Fluxions , dan alat yang dikembangkan yang membuat lebih mudah
untuk menerapkan kalkulus untuk masalah fisik. Dia membuat langkah besar dalam
meningkatkan pendekatan numerik integral, menciptakan apa yang sekarang dikenal
sebagai perkiraan Euler . Yang paling menonjol dari perkiraan adalah metode Euler danrumus Euler-Maclaurin . Dia juga memfasilitasi penggunaan persamaan diferensial , khususnya memperkenalkan Euler-Mascheroni
konstan :
Salah satu kepentingan
Euler lebih luar biasa adalah penerapan ide-ide matematika dalam musik. Pada 1739, ia menulis Tentamen novae musicae theoriae, berharap
untuk akhirnya menggabungkan teori musik sebagai bagian dari matematika. Ini bagian dari
pekerjaannya, namun tidak menerima perhatian luas dan pernah digambarkan
sebagai terlalu matematika untuk musisi dan juga musik untuk hebat matematika.
6. Fisika dan Astronomi
Euler membantu
mengembangkan persamaan
Euler-Bernoulli balok , yang menjadi
landasan teknik. Selain berhasil menerapkan alat analitik untuk masalah
dalam mekanika klasik , Euler juga diterapkan teknik-teknik untuk masalah
surgawi. Karyanya dalam astronomi diakui oleh sejumlah Paris Hadiah Akademi
selama karirnya. Prestasinya mencakup menentukan dengan sangat teliti orbit
komet dan benda angkasa lain, memahami sifat komet, dan menghitung parallax dari matahari. Perhitungannya juga memberikan kontribusi
terhadap pengembangan akurat tabel bujur .
Selain itu, Euler
dibuat kontribusi penting dalam optik . Dia tidak
setuju dengan teori sel Newton tentang cahaya di Opticks ,
yang kemudian teori yang berlaku. 1740-an-Nya makalah pada optik membantu
memastikan bahwa teori gelombang cahaya yang diusulkan oleh Huygens Kristen akan menjadi modus yang dominan pemikiran, setidaknya
sampai perkembangan teori kuantum cahaya . Pada 1757 ia diterbitkan penting serangkaian persamaan
untuk aliran inviscid , yang sekarang dikenal sebagai persamaan Euler .
7. Logika
Dia juga dikreditkan dengan menggunakan kurva tertutup
untuk menggambarkan silogisme
penalaran (1768). Diagram ini telah menjadi dikenal
sebagai diagram Euler .
Filosofi Pribadi dan keyakinan agama
Euler dan
temannya Daniel Bernoulli adalah penentang Leibniz monadism dan
filsafatKristen Wolff . Euler bersikeras bahwa pengetahuan dibangun di bagian
atas dasar hukum kuantitatif yang tepat, sesuatu yang monadism dan Wolffii ilmu
pengetahuan tidak dapat menyediakan. Kecenderungan agama Euler juga mungkin
punya pengaruh pada ketidaksukaannya dari doktrin, ia pergi sejauh untuk label
ide Wolff sebagai "kafir dan ateis".
Banyak dari apa yang
diketahui dari keyakinan agama Euler dapat disimpulkan dari Surat
kepada seorang Putri Jerman dan karya sebelumnya, Rettung der
Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (Pertahanan Wahyu
Ilahi terhadap Keberatan-keberatan para free thinker). Karya-karya ini
menunjukkan bahwa Euler adalah seorang yang taat Kristen yang
percaya Alkitab terinspirasi; Rettung itu terutama argumen
untuk inspirasi ilahi dari
Alkitab.
Ada anekdot terkenal terinspirasi oleh argumen
Euler dengan filsuf sekuler atas agama, yang ditetapkan selama tugas kedua
Euler di St Petersburg akademi. Filsuf Perancis Denis Diderot mengunjungi Rusia pada undangan Catherine Agung. Namun,
Ratu itu khawatir bahwa argumen filsuf untuk ateisme yang
mempengaruhi anggota pengadilan, dan begitu Euler diminta untuk menghadapi
Prancis. Diderot kemudian diberitahu bahwa seorang matematikawan belajar telah
menghasilkan bukti keberadaan Tuhan : ia setuju untuk melihat bukti seperti yang disajikan di
pengadilan. Euler muncul, maju menuju Diderot, dan dengan
nada keyakinan yang sempurna mengumumkan, "Tuan, 
, Maka Allah ada". Diderot, kepada siapa (kata
cerita) semua matematika adalah omong kosong, berdiri kaget karena tawa meledak
dari pengadilan. Karena malu, ia diminta untuk meninggalkan Rusia, permintaan
yang anggun diberikan oleh Ratu. anekdot ini apokrif , bagaimanapun, mengingat bahwa Diderot adalah seorang
ahli matematika yang handal yang telah menerbitkan risalah matematika beberapa
sendiri.
KEGUNAAN RUMUS EULER DI
KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Penerapan Bilangan Imajiner dan Kompleks
Penggunaan
bilangan imajiner biasanya dilakukan melalui bilangan kompleks. Seperti yang
dijelaskan sebelumnya, bilangan kompleks sangat berguna di berbagai bidang
sains seperti pemrosesan sinyal, teori kendali, elektromagnet, dinamika fluida,
mekanika kuantum, pemetaan, dan analisis getaran.
Bilangan kompleks digunakan setelah mentransformasi sistem dari
domain waktu ke domain frekuensi menggunakan transformasi Laplace. Hasil
transformasi Laplace dari sistem akan menghasilkan pole dan zero yang dianalisis pada bidang kompleks.
Hasil dari analisis akan menjelaskan kestabilan sistem kendali.
Pada
bidang teknik elektro, bilangan kompleks akan muncul saat penggunaan
transformasi Fourier untuk menganalisis variasi tegangan dan arus. Notasi
bilangan imajiner pada analisis ini menggunakan simbol j untuk menghindari
kebingungan, karena i telah digunakan sebagai simbol arus listrik.
Bilangan
kompleks juga banyak digunakan pada analisis sinyal dan berbagai bidang lainnya
yang melibatkan variasi sinyal secara periodik. Analisis Fourier digunakan
untuk memperoleh nilai sebenarnya dari sinyal sebagai kumpulan dari fungsi
periodik yang biasanya berupa:
f(t) =
zeiωt
ω
merupakan simbol untuk frekuensi angular, sementara bilangan kompleks z
merupakan fase dan amplitudo dari persamaan.
Bentuk persamaan ini kemudian dikembangkan menjadi pemrosesan
sinyal digital dan pemrosesan gambar digital, tentu dengan menggunakan analisis
tambahan lainnya. Analisis tersebut digunakan untuk transmit, compress, restore,
dan berbagai proses lainnya pada pengolahan sinyal audio digital, gambar, dan
video.
Selain
di bidang elektro dan sinyal, bilangan kompleks juga digunakan pada persamaan
matematis di bidang fisika modern, terutama mekanika kuantum dan relativitas.
Persamaan Schrödinger dan matriks Heisenberg merupakan persamaan dasar
dari fisika kuantum yang menggunakan bilangan kompleks. Relativitas juga menggunakan
bilangan kompleks jika variabel waktu menjadi imajiner.
Bilangan
e
Bilangan e adalah konstanta bilangan real yang nilainya
mendekati 2.71828 18284 59045 23536..
Dalam analisis matematika, Identitas Euler adalah persamaan.
Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma natural.
e adalah simbol untuk dasar logaritma alami.
Seiring dengan pi, e telah mengubah pemahaman kita tentang konsep angka. Jauh
dari yang diciptakan oleh matematikawan, baik angka ada di kanan dan mereka
sendiri muncul di seluruh dunia alami. e memainkan peran penting dalam
menggambarkan tentang bagaimana kemajuan peluruhan radioaktif, dalam
proses-proses yang mendasari aturan slide, dll
Salah satu penerapan e adalah dalam perhitungan bunga bank.
Rumusnya adalah misalkan kita menaruh deposito sebesar 10juta,
bunga 9% setahun maka dalam waktu 2 tahun uang kita akan menjadi berapa banyak.
Sekian ya kawan-kawan. Semoga membantu :)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar